一、代数与函数

例题1：已知方程 x^2 - 3x + 4 = 0，求其根的模长。解析：计算判别式Δ = (-3)^2 - 414 = -7，由于Δ小于0，方程存在共轭虚根。设根为 x = a ± bi，则模长 sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{(c/a)} = sqrt{4} = 2。

例题2：函数 f(x) = 3^x + 4，求 f^{-1}(13) 的值。解析：设 3^y + 4 = 13，解得 3^y = 9，因此 y = 2，即 f^{-1}(13) = 2。

二、几何与三角

例题3：三棱锥底面为边长为3的正三角形，侧棱长均为4，求其体积。解析：底面面积 S = sqrt{3}/4 * 3^2 = 9sqrt{3}/4，顶点投影到底面中心，高 h = sqrt{4^2 - ((sqrt{3}/3 * 3)^2} = sqrt{13}，体积 V = (1/3) * (9sqrt{3}/4) * sqrt{13} = 3sqrt{39}/4。

例题4：在△ABC中，已知 angle A = 30° ，AB = 4 ，BC = 3，求 sin C。解析：由正弦定理得 (3/sin 30°) = (4/sin C)，解得 sin C = (4 * 0.5)/3 = 2/3。

三、概率与统计

例题5：从标号1至4的卡片中随机抽取3张，求数字之和为偶数的概率。解析：总共有 C_4^3 = 4 种抽法，和为偶数需要满足“1奇2偶”或“2奇1偶”，由于只有2个奇数（1,3），无法抽到“3奇”，所以只有 C_2^1 * C_2^2 = 2 种组合方式，因此概率为 P = 2/4 = 1/2。

例题6：某数据集中有数据4、5、6，加入第4个数后方差变为3，求第4个数。解析：原数据平均值 bar{x} = 5，方差为 (1+0+1)/3 = 2/3。设新数为 a，新方差为 (1+0+1+(a-5)^2)/4 = 3，解得 (a-5)^2 = 10，因此 a = 5 ± sqrt{10}。

四、数列与推理

例题7：等差数列前3项和为12，前4项和为22，求公差d。解析：设首项为 a_1，则 3a_1 + 3d = 12，4a_1 + 6d = 22，解得 a_1 = 2，d = 2。

作为高中数学教师，建议学生通过这些题目深入理解数字的应用。数字不仅是参数，还可能隐含几何特征（如勾股数）、对称性（如概率组合）等深层联系。识别题干中的数字关联，有助于提高解题效率。

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